Рис. 22. AB = BD. Найти: ∠ACB.

Решение:

В треугольнике \( ABD \), \( AB = BD \), значит, он равнобедренный. Следовательно, \( \angle BDA = \angle BAD \).

\( \angle ABD = 180° - \angle BAD - \angle BDA \)

\( \angle ABD = 180° - 68° - 68° = 180° - 136° = 44° \).

Угол \( \angle ABC \) является развёрнутым углом, если точки A, D, C лежат на одной прямой. Но из рисунка видно, что \( \angle ABC \) - это угол треугольника \( ABC \).

Угол \( \angle ABD = 68° \) (дан по условию).

В равнобедренном \( \triangle ABD \) углы при основании \( AD \) равны.

\( \angle BAD = \angle BDA = \frac{180° - 68°}{2} = \frac{112°}{2} = 56° \).

Угол \( \angle ACB \) находится в \( \triangle ABC \). \( \angle BAC = \angle BAD = 56° \).

\( \angle ABC = 180° - \angle ABD = 180° - 68° = 112° \) (смежные углы, если D лежит на AC). Это не так.

Предположим, что \( \angle ABC = 68° \) это угол \( \angle DBC \) или \( \angle ABD \).

Если \( \angle ABC = 68° \) и \( AB=BD \), то \( \triangle ABD \) равнобедренный. \( \angle BAD = \angle BDA = (180-68)/2 = 56° \).

В \( \triangle BDC \): \( \angle DBC = 180 - 68 = 112° \) (смежный). \( \angle BDC = 180 - 56 = 124° \).

\( \angle BCD = 180 - 112 - 124 = -56° \). Неверно.

Предположим, \( \angle BAC = 68° \) и \( AB=BD \).

Тогда \( \angle BDA = \angle BAD = 68° \).

\( \angle ABD = 180 - 68 - 68 = 44° \).

В \( \triangle ABC \): \( \angle ABC = 44° \) (из \( \triangle ABD \)).

\( \angle ACB = 180 - \angle BAC - \angle ABC = 180 - 68 - 44 = 180 - 112 = 68° \).

Ответ: \( \angle ACB = 68° \).