12. (самостоятельно). Дан прямоугольный треугольник АВС, где угол C = 90°, косинус угла В равен 4/5. Известно, что АВ = 10см. Найдите АС?

В прямоугольном треугольнике ABC с углом C = 90° косинус угла B равен отношению прилежащего катета BC к гипотенузе AB: $$cos(B) = \frac{BC}{AB}$$.

Дано: $$cos(B) = \frac{4}{5}$$, $$AB = 10$$ см.

Найдем BC: $$\frac{BC}{10} = \frac{4}{5}$$, $$BC = \frac{4}{5} \cdot 10 = 8$$ см.

По теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$, следовательно, $$AC^2 = AB^2 - BC^2$$, $$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2}$$.

Подставляем значения: $$AC = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$$ см.

Ответ: 6 см