15) sin²x = 3 sin x cos x

15) Решим уравнение $$\sin^2 x = 3 \sin x \cos x$$.

$$\sin^2 x - 3 \sin x \cos x = 0$$

Вынесем $$\sin x$$ за скобки:

$$\sin x (\sin x - 3 \cos x) = 0$$

Это уравнение распадается на два:

$$\sin x = 0$$

$$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$\sin x - 3 \cos x = 0$$

$$\sin x = 3 \cos x$$

Разделим обе части на $$\cos x$$ (предполагаем, что $$\cos x
eq 0$$):

$$\frac{\sin x}{\cos x} = 3$$

$$\text{tg} x = 3$$

$$x = \text{arctg}(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Теперь нужно проверить, не являются ли решениями корни уравнения $$\cos x = 0$$.

Если $$\cos x = 0$$, то $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$.

Подставим в исходное уравнение:

$$\sin^2 (\frac{\pi}{2} + \pi n) = 3 \sin (\frac{\pi}{2} + \pi n) \cos (\frac{\pi}{2} + \pi n)$$

$$\sin^2 (\frac{\pi}{2} + \pi n) = 0$$

Это неверно, так как $$\sin (\frac{\pi}{2} + \pi n) = \pm 1$$

Значит, $$\cos x = 0$$ не является решением.

Ответ: $$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$$, $$x = \text{arctg}(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$