11) sin²x + sin x cos x = 0

11) Решим уравнение $$\sin^2 x + \sin x \cos x = 0$$.

Вынесем $$\sin x$$ за скобки:

$$\sin x (\sin x + \cos x) = 0$$

Это уравнение распадается на два:

$$\sin x = 0$$

$$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$\sin x + \cos x = 0$$

$$\sin x = -\cos x$$

Разделим обе части на $$\cos x$$ (предполагаем, что $$\cos x
eq 0$$):

$$\frac{\sin x}{\cos x} = -1$$

$$\text{tg} x = -1$$

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Теперь нужно проверить, не являются ли решениями корни уравнения $$\cos x = 0$$.

Если $$\cos x = 0$$, то $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$.

Подставим в исходное уравнение:

$$\sin^2 (\frac{\pi}{2} + \pi n) + \sin (\frac{\pi}{2} + \pi n) \cos (\frac{\pi}{2} + \pi n) = 0$$

$$\sin^2 (\frac{\pi}{2} + \pi n) + 0 = 0$$

$$\sin^2 (\frac{\pi}{2} + \pi n) = 0$$

Это неверно, так как $$\sin (\frac{\pi}{2} + \pi n) = \pm 1$$

Значит, $$\cos x = 0$$ не является решением.

Ответ: $$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$$, $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$