2.66. Среди квадратных уравнений х²+ 6x + 9 = 0; 2x²+7x-4 = 0; 16x² - 8x + 1 = 0; 6x2 – 5x + 7 = 0 выберите: а) уравнения, имеющие два корня; б) уравнения, у которых левая часть является квадратом двучлена.

Для решения данного задания, нужно определить какие из представленных квадратных уравнений имеют два корня, а какие являются полным квадратом.

Напомню:

• Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0.
• Дискриминант (D) = b² - 4ac.
• Если D > 0, уравнение имеет два различных корня.
• Если D = 0, уравнение имеет один корень (или два одинаковых корня).
• Если D < 0, уравнение не имеет действительных корней.
• Полный квадрат — это выражение, которое можно представить в виде (A ± B)².

1. Рассмотрим уравнение х² + 6x + 9 = 0:

   • Здесь a = 1, b = 6, c = 9.
   • D = 6² - 4 × 1 × 9 = 36 - 36 = 0.
   • Так как D = 0, уравнение имеет один корень.
   • Выражение можно представить как (x + 3)² = 0.

2. Рассмотрим уравнение 2x² + 7x - 4 = 0:

   • Здесь a = 2, b = 7, c = -4.
   • D = 7² - 4 × 2 × (-4) = 49 + 32 = 81.
   • Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня.

3. Рассмотрим уравнение 16x² - 8x + 1 = 0:

   • Здесь a = 16, b = -8, c = 1.
   • D = (-8)² - 4 × 16 × 1 = 64 - 64 = 0.
   • Так как D = 0, уравнение имеет один корень.
   • Выражение можно представить как (4x - 1)² = 0.

4. Рассмотрим уравнение 6x² – 5x + 7 = 0:

   • Здесь a = 6, b = -5, c = 7.
   • D = (-5)² - 4 × 6 × 7 = 25 - 168 = -143.
   • Так как D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ:

• а) Уравнение, имеющее два корня: 2x² + 7x - 4 = 0.
• б) Уравнения, у которых левая часть является квадратом двучлена: x² + 6x + 9 = 0 и 16x² - 8x + 1 = 0.