5. Теплоход прошёл 72 км против течения реки и 56 км по течению, затратив на путь против течения на 1 ч больше, чем на путь по течению. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Пусть $$v$$ км/ч - собственная скорость теплохода.

Тогда скорость теплохода по течению $$v + 2$$ км/ч, а против течения $$v - 2$$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению, равно $$\frac{56}{v + 2}$$ часов, а против течения - $$\frac{72}{v - 2}$$ часов.

Из условия задачи известно, что время против течения на 1 час больше, чем по течению, поэтому:

$$\frac{72}{v - 2} - \frac{56}{v + 2} = 1$$

$$\frac{72(v + 2) - 56(v - 2)}{(v - 2)(v + 2)} = 1$$

$$\frac{72v + 144 - 56v + 112}{v^2 - 4} = 1$$

$$16v + 256 = v^2 - 4$$

$$v^2 - 16v - 260 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-260) = 256 + 1040 = 1296 = 36^2$$

$$v_1 = \frac{-(-16) + \sqrt{1296}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 36}{2} = \frac{52}{2} = 26$$

$$v_2 = \frac{-(-16) - \sqrt{1296}}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 36}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 26$$ км/ч.

Ответ: 26 км/ч - собственная скорость теплохода.