Вариант 3 4. Решите уравнение 3 4 1 x²+4x+4 + x²-4 = x-2

Решим уравнение $$\frac{3}{x^2+4x+4} + \frac{4}{x^2-4} = \frac{1}{x-2}$$.

Разложим знаменатели на множители:

$$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$$

$$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$

Тогда уравнение примет вид:

$$\frac{3}{(x + 2)^2} + \frac{4}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{1}{x - 2}$$

ОДЗ: $$x
eq -2, x
eq 2$$.

Приведем дроби к общему знаменателю $$(x - 2)(x + 2)^2$$:

$$\frac{3(x - 2) + 4(x + 2) - (x + 2)^2}{(x - 2)(x + 2)^2} = 0$$

$$3(x - 2) + 4(x + 2) - (x + 2)^2 = 0$$

$$3x - 6 + 4x + 8 - (x^2 + 4x + 4) = 0$$

$$3x - 6 + 4x + 8 - x^2 - 4x - 4 = 0$$

$$-x^2 + 3x - 2 = 0$$

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$

$$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Так как $$x
eq 2$$, то $$x=2$$ - посторонний корень.

Ответ: $$x = 1$$