3. В каждом из 500 независимых испытаний событие А происход ной вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что событие А проис 220 раз; меньше чем 240 и больше чем 180 раз.

Задача: В 500 независимых испытаниях событие A происходит с вероятностью 0.4. Найти вероятность, что событие A произойдет от 220 до 239 раз.

Для решения этой задачи можно использовать нормальное приближение биномиального распределения.

1. Определим параметры биномиального распределения:

• n = 500 (количество испытаний)
• p = 0.4 (вероятность успеха в каждом испытании)

2. Вычислим математическое ожидание и стандартное отклонение:

$$\mu = n * p = 500 * 0.4 = 200$$

$$\sigma = \sqrt{n * p * (1 - p)} = \sqrt{500 * 0.4 * 0.6} = \sqrt{120} \approx 10.95$$

3. Используем нормальное приближение, чтобы найти вероятность P(220 <= X <= 239). Для этого перейдем к стандартной нормальной переменной Z:

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

4. Вычислим Z-значения для X = 219.5 и X = 239.5 (используем корректировку на непрерывность):

$$Z_1 = \frac{219.5 - 200}{10.95} \approx 1.78$$

$$Z_2 = \frac{239.5 - 200}{10.95} \approx 3.61$$

5. Найдем вероятности, соответствующие этим Z-значениям, используя таблицу стандартного нормального распределения или калькулятор:

$$P(Z < 1.78) \approx 0.9625$$

$$P(Z < 3.61) \approx 0.9998$$

6. Вычислим искомую вероятность:

$$P(220 <= X <= 239) = P(Z < 3.61) - P(Z < 1.78) = 0.9998 - 0.9625 = 0.0373$$

Ответ: 0.0373