2.4.11. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 30, а угол, лежащий против него, равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Пусть катет (a = 30), а угол, лежащий против него, (\alpha = 45^\circ). Второй катет (b) можно найти, используя тангенс угла: (\tan(\alpha) = \frac{a}{b}). \[\tan(45^\circ) = \frac{30}{b}\] Так как (\tan(45^\circ) = 1), то \[1 = \frac{30}{b}\] \[b = 30\] Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: (S = \frac{1}{2}ab), где (a) и (b) - катеты треугольника. В данном случае, (a = 30), (b = 30). Тогда: \[S = \frac{1}{2} cdot 30 cdot 30 = 15 cdot 30 = 450\] Ответ: Площадь треугольника равна 450.