2.4.12. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Если один из острых углов равен 45°, то и другой острый угол равен 45°, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Значит, это равнобедренный прямоугольный треугольник. Пусть гипотенуза равна c = 20, а катеты a и b, которые равны. По теореме Пифагора: a^2 + b^2 = c^2, и поскольку a = b, то 2a^2 = c^2, отсюда a^2 = c^2/2. a = \frac{c}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: S = \frac{1}{2}ab, где a и b - катеты треугольника. В данном случае, a = 10\sqrt{2}, b = 10\sqrt{2}. Тогда: S = \frac{1}{2} * 10\sqrt{2} * 10\sqrt{2} = \frac{1}{2} * 100 * 2 = 100 Ответ: Площадь треугольника равна 100.