2.4.15. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один катет на 2 больше другого. Найдите площадь треугольника.

Пусть один катет (a), тогда другой катет (b = a + 2). Гипотенуза (c = 10). По теореме Пифагора: (a^2 + b^2 = c^2). \[a^2 + (a + 2)^2 = 10^2\] \[a^2 + a^2 + 4a + 4 = 100\] \[2a^2 + 4a - 96 = 0\] \[a^2 + 2a - 48 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = 2^2 - 4 cdot 1 cdot (-48) = 4 + 192 = 196\] \[a = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 \pm 14}{2}\] (a_1 = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6) (a_2 = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8) (не подходит, так как длина не может быть отрицательной) Тогда, (a = 6), (b = a + 2 = 6 + 2 = 8). Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: (S = \frac{1}{2}ab), где (a) и (b) - катеты треугольника. В данном случае, (a = 6), (b = 8). Тогда: \[S = \frac{1}{2} cdot 6 cdot 8 = 3 cdot 8 = 24\] Ответ: Площадь треугольника равна 24.