3. В треугольнике АВС угол C равен 90°, cos A = \frac{\sqrt{15}}{4}. Найдите cos B.

Решение:

Шаг 1: В прямоугольном треугольнике углы A и B являются острыми, и их сумма равна 90°:

\[A + B = 90^\circ\]

Шаг 2: Выражаем угол B через угол A:

\[B = 90^\circ - A\]

Шаг 3: Находим \(cos B\):

\[cos B = cos(90^\circ - A)\]

Шаг 4: Используем формулу приведения \(cos(90^\circ - A) = sin A\):

\[cos B = sin A\]

Шаг 5: Найдем \(sin A\) через основное тригонометрическое тождество:

\[sin^2 A + cos^2 A = 1\] \[sin^2 A = 1 - cos^2 A\]

Шаг 6: Подставляем значение \(cos A = \frac{\sqrt{15}}{4}\):

\[sin^2 A = 1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2\] \[sin^2 A = 1 - \frac{15}{16}\] \[sin^2 A = \frac{16}{16} - \frac{15}{16}\] \[sin^2 A = \frac{1}{16}\]

Шаг 7: Находим \(sin A\), извлекая квадратный корень из обеих частей:

\[sin A = \sqrt{\frac{1}{16}}\] \[sin A = \frac{1}{4}\]

Шаг 8: Так как \(cos B = sin A\), то:

\[cos B = \frac{1}{4}\]

Ответ: \(\frac{1}{4}\)