12. В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН – высота, AB = 18, cos A = \frac{2}{3}. Найдите АН.

Решение:

Шаг 1: Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нем:

\[cos A = \frac{AH}{AC}\]

Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. В нем:

\[cos A = \frac{AC}{AB}\]

Шаг 3: Выразим AC через cos A и AB:

\[AC = AB \cdot cos A = 18 \cdot \frac{2}{3} = 6 \cdot 2 = 12\]

Шаг 4: Подставляем AC в первое уравнение:

\[cos A = \frac{AH}{12}\] \[\frac{2}{3} = \frac{AH}{12}\]

Шаг 5: Выразим AH:

\[AH = 12 \cdot \frac{2}{3} = 4 \cdot 2 = 8\]

Ответ: 8