5. В треугольнике АВС угол C равен 90°, tgA = \sqrt{15}. Найдите sin B.

Решение:

Шаг 1: Вспоминаем определение тангенса:

\[tg A = \frac{sin A}{cos A}\]

Шаг 2: Выражаем \(sin A\) через \(tg A\) и \(cos A\):

\[sin A = tg A \cdot cos A\]

Шаг 3: Вспоминаем основное тригонометрическое тождество:

\[sin^2 A + cos^2 A = 1\]

Шаг 4: Подставляем \(sin A = tg A \cdot cos A\) в основное тригонометрическое тождество:

\[(tg A \cdot cos A)^2 + cos^2 A = 1\] \[tg^2 A \cdot cos^2 A + cos^2 A = 1\] \[cos^2 A (tg^2 A + 1) = 1\]

Шаг 5: Выражаем \(cos^2 A\):

\[cos^2 A = \frac{1}{tg^2 A + 1}\]

Шаг 6: Подставляем значение \(tg A = \sqrt{15}\):

\[cos^2 A = \frac{1}{(\sqrt{15})^2 + 1}\] \[cos^2 A = \frac{1}{15 + 1}\] \[cos^2 A = \frac{1}{16}\]

Шаг 7: Находим \(cos A\), извлекая квадратный корень из обеих частей:

\[cos A = \sqrt{\frac{1}{16}}\] \[cos A = \frac{1}{4}\]

Шаг 8: Вспоминаем, что \(sin B = cos A\) (так как A и B - острые углы в прямоугольном треугольнике):

\[sin B = cos A = \frac{1}{4}\]

Ответ: \(\frac{1}{4}\)