11. В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН – высота, АВ = 18, sin A = \frac{2}{3}. Найдите ВН.

Решение:

Шаг 1: Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нем:

\[sin A = \frac{CH}{AC}\]

Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. В нем:

\[sin A = \frac{BC}{AB}\]

Шаг 3: Выразим BC через sin A и AB:

\[BC = AB \cdot sin A = 18 \cdot \frac{2}{3} = 6 \cdot 2 = 12\]

Шаг 4: Рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. В нем:

\[cos B = \frac{BH}{BC}\]

Шаг 5: Так как \(sin A = cos B\), то:

\[cos B = \frac{2}{3}\]

Шаг 6: Выразим BH через cos B и BC:

\[BH = BC \cdot cos B = 12 \cdot \frac{2}{3} = 4 \cdot 2 = 8\]

Ответ: 8