Вариант №1. 2. Найти экстремумы функции: а) f(x) = x³ + 3x² − 2x + 2; б) f(x) = 2e³ˣ − 3e²ˣ.

а) f′(x) = 3x² + 6x − 2. Решаем f′(x) = 0: x₁ = −1 − √15/3, x₂ = −1 + √15/3. Производная положительна вне корней и отрицательна между ними, поэтому в x₁ — максимум, в x₂ — минимум.

Значения функции: f(x₁) = 6 + 10√15/9, f(x₂) = 6 − 10√15/9.

б) f′(x) = 6e²ˣ(eˣ − 1). Поскольку e²ˣ > 0, знак производной определяется выражением eˣ − 1: оно отрицательно при x < 0 и положительно при x > 0. Значит, при x = 0 функция имеет минимум f(0) = −1.

Ответ: а) максимум 6 + 10√15/9 при x = −1 − √15/3; минимум 6 − 10√15/9 при x = −1 + √15/3; б) минимум −1 при x = 0.