Вариант №2. 2. Найти экстремумы функции: а) f(x) = x³ − 3x² + 2x + 4; б) f(x) = 3e²ˣ − 2e³ˣ.

а) f′(x) = 3x² − 6x + 2. Решая f′(x) = 0, получаем x₁ = 1 − √3/3 и x₂ = 1 + √3/3. Парабола f′ направлена вверх, поэтому при x₁ производная меняет знак с плюса на минус (максимум), а при x₂ — с минуса на плюс (минимум). Значения: f(x₁) = 4 + 2√3/9; f(x₂) = 4 − 2√3/9.

б) f′(x) = 6e²ˣ − 6e³ˣ = 6e²ˣ(1 − eˣ). Производная положительна при x < 0 и отрицательна при x > 0. При x = 0 функция имеет максимум f(0) = 1.

Ответ: а) максимум 4 + 2√3/9 при x = 1 − √3/3; минимум 4 − 2√3/9 при x = 1 + √3/3; б) максимум 1 при x = 0.