121. Высота СН и биссектриса АК прямоугольного треугольника АВС (∠C = 90°) пересекаются в точке М. Найдите острые углы треугольника АВС, если ∠CMK = 54°.

В прямоугольном треугольнике АВС $$\angle C = 90°$$. СН - высота, АК - биссектриса, М - точка пересечения СН и АК, $$\angle CMK = 54°$$.

$$\angle HKA = \angle CMK = 54°$$ (как вертикальные).

Рассмотрим треугольник AHC. Он прямоугольный, так как СН - высота, $$\angle CHA = 90°$$.

Тогда $$\angle CAH = 90° - \angle ACH$$

Рассмотрим треугольник АКС. $$\angle AKC = 180° - \angle CAK - \angle ACK$$

$$\angle CAK = \frac{\angle A}{2}$$

$$\angle CAK = \frac{\angle CAH}{2} = \frac{90° - \angle ACH}{2}$$. Следовательно, $$\angle A = 90° - \angle ACH$$

$$\angle AKC = 180° - \frac{90° - \angle ACH}{2} - 90° = 90° - \frac{90° - \angle ACH}{2} = 90° - 45° + \frac{\angle ACH}{2} = 45° + \frac{\angle ACH}{2}$$

$$\angle AKC = \angle HKA = 54°$$.

$$45° + \frac{\angle ACH}{2} = 54°$$

$$\frac{\angle ACH}{2} = 54° - 45° = 9°$$

$$\angle ACH = 2 \cdot 9° = 18°$$

$$\angle CAB = 90° - \angle ACH = 90° - 18° = 72°$$

$$\angle ABC = 180° - \angle CAB - \angle ACB = 180° - 72° - 90° = 18°$$

Острые углы треугольника АВС равны 72° и 18°.

Ответ: 72°, 18°