Задача 3. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.

Решение: 1. Т.к. BM - медиана, то AM = MC = AC/2 = 84/2 = 42. 2. Т.к. BC = BM и BM - медиана, рассмотрим треугольник BMC. Пусть ∠MBC = x. Поскольку BC = BM, то треугольник BMC - равнобедренный, и ∠BMC = ∠BCM = x. 3. Внешний угол треугольника MBC (угол BMA) равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Значит, ∠BMA = ∠MBC + ∠BCM = x + x = 2x. 4. Рассмотрим треугольник ABM. Т.к. BM = BC, и по условию ВС= ВМ, то треугольник ABM - равнобедренный, и углы при основании равны: ∠BAM = ∠BMA = 2x. 5. В треугольнике ABC сумма углов равна 180°: ∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180°. Подставляем известные значения: x + 2x + x = 180°, или 4x = 180°. Отсюда x = 45°. 6. Значит ∠BAC = 2 * 45° = 90°. Это прямоугольный треугольник. 7. Так как BH - высота, опущенная на гипотенузу, то AH = AC/2 = 42. Ответ: 42.