Задача 12. (эффект «прожектора») а) Табуретка из предыдущей задачи на проверку оказалась фотоном, то есть движется со скоростью света. Под каким углом к оси <i>x</i> распространяется этот фотон в лаборатории? б) Частица, движущаяся с большой скоростью, испускает свет в переднюю полусферу со своей системы отсчёта. Покажите, что в системе лаборатории свет концентрируется в узкий конус.

а) Для фотона в системе ракеты \(v'=c\). Подстановка в преобразование скорости из предыдущей задачи даёт закон аберрации света: \(\cos\varphi=(\cos\varphi'+\beta)/(1+\beta\cos\varphi')\), где \(\beta=u/c\). Эквивалентно, \(\tan\varphi=\sin\varphi'/[\gamma(\cos\varphi'+\beta)]\), с учётом четверти.

б) Лучи передней полусферы имеют \(0\leq\varphi'\leq\pi/2\), то есть \(0\leq\cos\varphi'\leq1\). По формуле аберрации их лабораторные направления удовлетворяют \(\beta\leq\cos\varphi\leq1\), то есть лежат в конусе вокруг направления движения частицы с полууглом \(\arccos\beta\). При \(\beta\to1\) этот угол стремится к нулю: свет концентрируется в узком переднем конусе.