Задача 6. (непрерывность ньютоновской механики для космических полётов) Как должна зависеть скорость ракеты и параметр скорости от времени, чтобы наблюдатель в ракете всё время испытывал ускорение <i>g</i>? Через какое время ракета разгонится до 0,9 скорости света? А что предсказывает Ньютоновская механика?

Пусть ракета начинает движение из покоя, а g — постоянное собственное ускорение, которое ощущает наблюдатель на борту. Введём параметр скорости (быстроту) \(\eta=\operatorname{artanh}(v/c)\). Тогда \(d\eta/d\tau=g/c\), где τ — время на ракете.

Следовательно, \(\eta=g\tau/c\), а скорость и лабораторное время выражаются так:

\(v(\tau)=c\tanh(g\tau/c)\), \(t(\tau)=(c/g)\sinh(g\tau/c)\).

При \(v=0.9c\): \(\eta=\operatorname{artanh}(0.9)\approx1.4722\). Время на ракете составляет \(\tau=(c/g)\operatorname{artanh}(0.9)\approx1.4722c/g\). Лабораторное время составляет \(t=(c/g)\sinh(\eta)=0.9\gamma c/g\approx2.0647c/g\), где \(\gamma=1/\sqrt{1-0.9^2}\approx2.2942\).

В ньютоновской механике при постоянном ускорении \(v=gt\), поэтому до 0,9c ракета разгонится за \(t=0.9c/g\). Ньютоновская модель допускает скорость выше c при продолжении разгона; релятивистская — нет.