Задача 12. В треугольнике ABC внешние углы при вершинах A, B и C относятся как 5 : 6 : 7. Найдите: а) все внутренние углы треугольника; б) угол между биссектрисами внешних углов при вершинах A и B.

Обозначим внешние углы через 5x, 6x и 7x. Сумма трёх внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°. Поэтому 18x = 360°, откуда x = 20°. Внешние углы равны 100°, 120° и 140°.

Внутренний угол смежен с внешним, поэтому ∠A = 80°, ∠B = 60°, ∠C = 40°.

Биссектрисы внешних углов A и B перпендикулярны биссектрисам внутренних углов A и B. Угол между внутренними биссектрисами, направленными к точке пересечения внутри треугольника, равен 90° + ∠C/2 = 110°. Между внешними биссектрисами на том же пересечении — вертикальный угол, также равный 110°.

Ответ: а) ∠A = 80°, ∠B = 60°, ∠C = 40°; б) угол между внешними биссектрисами — 110°.