Задача 4. Упростите выражение \(\left(\frac{a^9m^3}{18^5n^6}\right)^6\cdot\frac{(81m^2)^{15}}{(2^5n)^8}\).

Возводим степени в степень и раскрываем произведения: \(\left(\frac{a^9m^3}{18^5n^6}\right)^6=\frac{a^{54}m^{18}}{18^{30}n^{36}}\), а \(\frac{(81m^2)^{15}}{(2^5n)^8}=\frac{81^{15}m^{30}}{2^{40}n^8}\).

Так как \(18^{30}=(2\cdot3^2)^{30}=2^{30}3^{60}\) и \(81^{15}=(3^4)^{15}=3^{60}\), множители \(3^{60}\) сокращаются. Складываем показатели одинаковых степеней в числителе и знаменателе:

\[\frac{a^{54}m^{18}\cdot3^{60}m^{30}}{2^{30}3^{60}n^{36}\cdot2^{40}n^8}=\frac{a^{54}m^{48}}{2^{70}n^{44}}.\]

Ответ: \(\frac{a^{54}m^{48}}{2^{70}n^{44}}\).