Задание 4*: В трапеции ABCD (AD и BC основание) диагонали пересекаются в точке O, AD = 12 см, BC = 4 см. Найдите площадь треугольника BOC, если площадь треугольника AOD равна 45 см².

Решение:

1. **Используем подобие треугольников.**
В трапеции ABCD треугольники BOC и AOD подобны, так как BC || AD, и углы при основаниях равны (∠BCO = ∠ADO и ∠CBO = ∠DAO).

2. **Найдем коэффициент подобия.**
Коэффициент подобия (k) равен отношению соответственных сторон:
\[k = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\]

3. **Отношение площадей подобных треугольников.**
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
\[\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\]

4. **Вычислим площадь треугольника BOC.**
Известно, что (S_{AOD} = 45) см².
\[S_{BOC} = \frac{1}{9} \cdot S_{AOD} = \frac{1}{9} \cdot 45 = 5\] см²

**Ответ:** Площадь треугольника BOC равна 5 см².