Задание 1 Вариант 1: Дано: AO = 6,8 см, CO = 8,4 см, OB = 5,1 см, OD = 6,3 см (рис. 7.56). Доказать: AC || BD. Найти: а) DB : AC; б) P_AOC : P_DBO; в) S_DBO : S_AOC

Решение:

a) **Доказать AC || BD**
Чтобы доказать, что AC || BD, нужно показать, что треугольники AOC и BOD подобны (тогда соответствующие углы будут равны, и прямые будут параллельны).
Проверим пропорциональность сторон:
\(\frac{AO}{OB} = \frac{6.8}{5.1} = \frac{68}{51} = \frac{4}{3}\)
\(\frac{CO}{OD} = \frac{8.4}{6.3} = \frac{84}{63} = \frac{4}{3}\)
Так как \(\frac{AO}{OB} = \frac{CO}{OD}\) и углы AOC и BOD вертикальные (значит, равны), треугольники AOC и BOD подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AC || BD.

б) **Найти DB : AC**
Так как треугольники AOC и BOD подобны, \(\frac{DB}{AC} = \frac{OB}{AO} = \frac{5.1}{6.8} = \frac{3}{4}\)
Значит, DB : AC = 3 : 4

в) **Найти P_AOC : P_DBO**
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия, то есть \(\frac{P_{AOC}}{P_{DBO}} = \frac{AO}{OB} = \frac{4}{3}\)
Значит, P_AOC : P_DBO = 4 : 3

г) **Найти S_DBO : S_AOC**
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть \(\frac{S_{DBO}}{S_{AOC}} = \left(\frac{OB}{AO}\right)^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\)
Значит, S_DBO : S_AOC = 9 : 16