Задание 1 Вариант 2: Дано: PE || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6 (рис. 7.55). Найти: а) МK; б) PE : NK; в) S_MPE : S_MNK

Решение:

а) **Найдем MK:**

1. **Применим теорему Фалеса или свойство пропорциональных отрезков.**
Поскольку PE || NK, имеем:
\(\frac{MP}{MN} = \frac{ME}{MK}\)

2. **Подставим известные значения и найдем MK.**
\(\frac{8}{12} = \frac{6}{MK}\)
\(MK = \frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{72}{8} = 9\)

**Ответ:** MK = 9.

б) **Найдем PE : NK:**

1. **Используем подобие треугольников.**
Треугольник MPE подобен треугольнику MNK (по двум углам, так как PE || NK).
Следовательно, \(\frac{PE}{NK} = \frac{MP}{MN}\)

2. **Подставим известные значения и найдем PE : NK.**
\(\frac{PE}{NK} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\)

**Ответ:** PE : NK = 2 : 3.

в) **Найдем S_MPE : S_MNK:**

1. **Используем отношение площадей подобных треугольников.**
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
\(\frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = \left(\frac{MP}{MN}\right)^2 = \left(\frac{8}{12}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\)

**Ответ:** S_MPE : S_MNK = 4 : 9.