Задание 12. ABCD — прямоугольник. Найдите углы α и β, используя данные рисунка. 8) Проведены диагонали AC и BD, пересекающиеся в O; засечками отмечено AB = AO = BO; α = ∠ACD, β — нижний угол между диагоналями при O.

В треугольнике ABO равны AO и BO, а также AB; следовательно, он равносторонний и ∠AOB = 60°. Угол β смежен с ∠AOB, поэтому β = 180° − 60° = 120°. В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = BO; по рисунку AB = AO, а значит AB = BO. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AC равна 2AO, тогда как BC — второй катет; из равностороннего ABO следует, что высота прямоугольника AB равна AO, а ширина BC равна √3·AO. Поэтому угол α между AC и вертикальной стороной CD имеет тангенс BC/AB = √3, то есть α = 60°.

Ответ: α = 60°, β = 120°.