13 Задумали двузначное число. При перестановке местами цифр числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна 1130. Найдите задуманное число, если известно, что вторая из его цифр на 2 больше первой.

Ответ: 35

Пусть x - первая цифра числа, y - вторая цифра числа. Тогда задуманное число 10x + y, а число с переставленными цифрами 10y + x. Тогда:

\[\begin{cases} x + 2 = y \\ (10x + y)^2 + (10y + x)^2 = 1130 \end{cases}\]

Подставим y = x + 2 во второе уравнение:

\[(10x + x + 2)^2 + (10(x + 2) + x)^2 = 1130\]\[(11x + 2)^2 + (11x + 20)^2 = 1130\]\[121x^2 + 44x + 4 + 121x^2 + 440x + 400 = 1130\]\[242x^2 + 484x - 726 = 0\]\[x^2 + 2x - 3 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\]\[x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1\]\[x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3\]

Так как цифра не может быть отрицательной, то:

\[x = 1\]

Тогда:

\[y = x + 2 = 1 + 2 = 3\]

Задуманное число:

\[10 \cdot 1 + 3 = 13\]\[y= x+2 \Rightarrow 3=1+2\]

Должно быть 2 больше 1.

Предположим, что не 13, а 35.

\[\begin{cases} y = x + 2 \\ (10x+y)^2 +(10y+x)^2=1130 \end{cases}\]\[\begin{cases} 5 = 3 + 2 \\ (30+5)^2+(50+3)^2 \end{cases}\]\[35^2+53^2= 1130\]\[1225+2809=4034
e 1130\]\[y=x+2\]

Должно быть, что вторая цифра на 2 больше первой

По-другому: цифра, полученная при перестановке - сумма их квадратов должна быть 1130

\[x - \text{первая цифра},\]\[y - \text{вторая цифра}\]\[(10x+y)^2 +(10y+x)^2=1130 \quad y=x+2 \]

\[242x^2 + 484x - 726=0 \quad | :22| \]\[11x^2 +22x -33=0 \quad |:11 \]\[x^2+2x -3=0\]

\[D=16 \sqrt D=4\]

\[x_1=\frac{-2 + 4}{2} = 1;\]

\[x_2=\frac{-2 -4}{2} = -3\]

Первая цифра равна 1, вторая на 2 больше - т.е. 3

\[13^2+31^2 \]

\[169+961= 1130\]

Ответ: 13