1. При помощи формул Крамера найти решение системы: \( \begin{cases} 5x + 3y - 3z = 2 \\ 4x - y + 2z = 8 \\ 3x - 2y + 5z = 14 \end{cases} \)

Решение:

Для решения системы методом Крамера найдем определитель системы (D) и определители для каждой переменной (Dx, Dy, Dz).

1. Определитель системы (D):

\[ D = \begin{vmatrix} 5 & 3 & -3 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 \end{vmatrix} \]\[ D = 5((-1)(5) - 2(-2)) - 3(4(5) - 2(3)) + (-3)(4(-2) - (-1)(3)) \]\[ D = 5(-5 + 4) - 3(20 - 6) - 3(-8 + 3) \]\[ D = 5(-1) - 3(14) - 3(-5) \]\[ D = -5 - 42 + 15 = -32 \]

2. Определитель для x (Dx):

\[ Dx = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -3 \\ 8 & -1 & 2 \\ 14 & -2 & 5 \end{vmatrix} \]\[ Dx = 2((-1)(5) - 2(-2)) - 3(8(5) - 2(14)) + (-3)(8(-2) - (-1)(14)) \]\[ Dx = 2(-5 + 4) - 3(40 - 28) - 3(-16 + 14) \]\[ Dx = 2(-1) - 3(12) - 3(-2) \]\[ Dx = -2 - 36 + 6 = -32 \]

3. Определитель для y (Dy):

\[ Dy = \begin{vmatrix} 5 & 2 & -3 \\ 4 & 8 & 2 \\ 3 & 14 & 5 \end{vmatrix} \]\[ Dy = 5(8(5) - 2(14)) - 2(4(5) - 2(3)) + (-3)(4(14) - 8(3)) \]\[ Dy = 5(40 - 28) - 2(20 - 6) - 3(56 - 24) \]\[ Dy = 5(12) - 2(14) - 3(32) \]\[ Dy = 60 - 28 - 96 = -64 \]

4. Определитель для z (Dz):

\[ Dz = \begin{vmatrix} 5 & 3 & 2 \\ 4 & -1 & 8 \\ 3 & -2 & 14 \end{vmatrix} \]\[ Dz = 5((-1)(14) - 8(-2)) - 3(4(14) - 8(3)) + 2(4(-2) - (-1)(3)) \]\[ Dz = 5(-14 + 16) - 3(56 - 24) + 2(-8 + 3) \]\[ Dz = 5(2) - 3(32) + 2(-5) \]\[ Dz = 10 - 96 - 10 = -96 \]

5. Находим значения переменных:

\[ x = \frac{Dx}{D} = \frac{-32}{-32} = 1 \]\[ y = \frac{Dy}{D} = \frac{-64}{-32} = 2 \]\[ z = \frac{Dz}{D} = \frac{-96}{-32} = 3 \]

Ответ: x = 1, y = 2, z = 3