2. Решить \( \lim_{x\to\infty} \frac{5 - 2x - 3x^2}{x^2 + x + 3} \)

Решение:

Для вычисления предела функции при \( x \to \infty \), мы делим числитель и знаменатель на старшую степень \( x \), которая в данном случае равна \( x^2 \).

\[ \lim_{x\to\infty} \frac{5 - 2x - 3x^2}{x^2 + x + 3} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{5}{x^2} - \frac{2x}{x^2} - \frac{3x^2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{x}{x^2} + \frac{3}{x^2}} \]\[ = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{5}{x^2} - \frac{2}{x} - 3}{1 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}} \]

Когда \( x \to \infty \), члены вида \( \frac{c}{x^n} \) (где \( n > 0 \)) стремятся к нулю.

\[ = \frac{0 - 0 - 3}{1 + 0 + 0} = \frac{-3}{1} = -3 \]

Ответ: -3