2. Решить \( \lim_{x\to\infty} \frac{4x^2 + 7x + 3}{2x^2 + x - 1} \)

Решение:

Для вычисления предела функции при \( x \to \infty \), мы делим числитель и знаменатель на старшую степень \( x \), которая в данном случае равна \( x^2 \).

\[ \lim_{x\to\infty} \frac{4x^2 + 7x + 3}{2x^2 + x - 1} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{4x^2}{x^2} + \frac{7x}{x^2} + \frac{3}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{x}{x^2} - \frac{1}{x^2}} \]\[ = \lim_{x\to\infty} \frac{4 + \frac{7}{x} + \frac{3}{x^2}}{2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}} \]

Когда \( x \to \infty \), члены вида \( \frac{c}{x^n} \) (где \( n > 0 \)) стремятся к нулю.

\[ = \frac{4 + 0 + 0}{2 + 0 - 0} = \frac{4}{2} = 2 \]

Ответ: 2