3. При помощи формул Крамера найти решение системы: \( \begin{cases} 5x - 3y + 4z = 7 \\ 2x - 2y + 3z = 5 \\ 7x - 8y + 5z = 13 \end{cases} \)

Решение:

Для решения системы методом Крамера найдем определитель системы (D) и определители для каждой переменной (Dx, Dy, Dz).

1. Определитель системы (D):

\[ D = \begin{vmatrix} 5 & -3 & 4 \\ 2 & -2 & 3 \\ 7 & -8 & 5 \end{vmatrix} \]\[ D = 5((-2)(5) - 3(-8)) - (-3)(2(5) - 3(7)) + 4(2(-8) - (-2)(7)) \]\[ D = 5(-10 + 24) + 3(10 - 21) + 4(-16 + 14) \]\[ D = 5(14) + 3(-11) + 4(-2) \]\[ D = 70 - 33 - 8 = 29 \]

2. Определитель для x (Dx):

\[ Dx = \begin{vmatrix} 7 & -3 & 4 \\ 5 & -2 & 3 \\ 13 & -8 & 5 \end{vmatrix} \]\[ Dx = 7((-2)(5) - 3(-8)) - (-3)(5(5) - 3(13)) + 4(5(-8) - (-2)(13)) \]\[ Dx = 7(-10 + 24) + 3(25 - 39) + 4(-40 + 26) \]\[ Dx = 7(14) + 3(-14) + 4(-14) \]\[ Dx = 98 - 42 - 56 = 0 \]

3. Определитель для y (Dy):

\[ Dy = \begin{vmatrix} 5 & 7 & 4 \\ 2 & 5 & 3 \\ 7 & 13 & 5 \end{vmatrix} \]\[ Dy = 5(5(5) - 3(13)) - 7(2(5) - 3(7)) + 4(2(13) - 5(7)) \]\[ Dy = 5(25 - 39) - 7(10 - 21) + 4(26 - 35) \]\[ Dy = 5(-14) - 7(-11) + 4(-9) \]\[ Dy = -70 + 77 - 36 = -29 \]

4. Определитель для z (Dz):

\[ Dz = \begin{vmatrix} 5 & -3 & 7 \\ 2 & -2 & 5 \\ 7 & -8 & 13 \end{vmatrix} \]\[ Dz = 5((-2)(13) - 5(-8)) - (-3)(2(13) - 5(7)) + 7(2(-8) - (-2)(7)) \]\[ Dz = 5(-26 + 40) + 3(26 - 35) + 7(-16 + 14) \]\[ Dz = 5(14) + 3(-9) + 7(-2) \]\[ Dz = 70 - 27 - 14 = 29 \]

5. Находим значения переменных:

\[ x = \frac{Dx}{D} = \frac{0}{29} = 0 \]\[ y = \frac{Dy}{D} = \frac{-29}{29} = -1 \]\[ z = \frac{Dz}{D} = \frac{29}{29} = 1 \]

Ответ: x = 0, y = -1, z = 1