2. Решить систему уравнений методом Крамера. \( \begin{cases} 5x - 3y + 4z = 11 \\ 2x - y - 2z = 6 \\ 3x - 2y + z = 2 \end{cases} \)

Решение:

Для решения системы методом Крамера найдем определитель системы (D) и определители для каждой переменной (Dx, Dy, Dz).

1. Определитель системы (D):

\[ D = \begin{vmatrix} 5 & -3 & 4 \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} \]\[ D = 5((-1)(1) - (-2)(-2)) - (-3)(2(1) - (-2)(3)) + 4(2(-2) - (-1)(3)) \]\[ D = 5(-1 - 4) + 3(2 + 6) + 4(-4 + 3) \]\[ D = 5(-5) + 3(8) + 4(-1) \]\[ D = -25 + 24 - 4 = -5 \]

2. Определитель для x (Dx):

\[ Dx = \begin{vmatrix} 11 & -3 & 4 \\ 6 & -1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} \]\[ Dx = 11((-1)(1) - (-2)(-2)) - (-3)(6(1) - (-2)(2)) + 4(6(-2) - (-1)(2)) \]\[ Dx = 11(-1 - 4) + 3(6 + 4) + 4(-12 + 2) \]\[ Dx = 11(-5) + 3(10) + 4(-10) \]\[ Dx = -55 + 30 - 40 = -65 \]

3. Определитель для y (Dy):

\[ Dy = \begin{vmatrix} 5 & 11 & 4 \\ 2 & 6 & -2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} \]\[ Dy = 5(6(1) - (-2)(2)) - 11(2(1) - (-2)(3)) + 4(2(2) - 6(3)) \]\[ Dy = 5(6 + 4) - 11(2 + 6) + 4(4 - 18) \]\[ Dy = 5(10) - 11(8) + 4(-14) \]\[ Dy = 50 - 88 - 56 = -94 \]

4. Определитель для z (Dz):

\[ Dz = \begin{vmatrix} 5 & -3 & 11 \\ 2 & -1 & 6 \\ 3 & -2 & 2 \end{vmatrix} \]\[ Dz = 5((-1)(2) - 6(-2)) - (-3)(2(2) - 6(3)) + 11(2(-2) - (-1)(3)) \]\[ Dz = 5(-2 + 12) + 3(4 - 18) + 11(-4 + 3) \]\[ Dz = 5(10) + 3(-14) + 11(-1) \]\[ Dz = 50 - 42 - 11 = -3 \]

5. Находим значения переменных:

\[ x = \frac{Dx}{D} = \frac{-65}{-5} = 13 \]\[ y = \frac{Dy}{D} = \frac{-94}{-5} = 18.8 \]\[ z = \frac{Dz}{D} = \frac{-3}{-5} = 0.6 \]

Ответ: x = 13, y = 18.8, z = 0.6