3. Найти длину векторного произведения векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), если \( \vec{a} = 2\vec{i} + 5\vec{j} \), \( \vec{b} = 3\vec{i} + \vec{j} \), \( \angle (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\pi}{3} \).

Решение:

Длина векторного произведения двух векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) вычисляется по формуле: \( |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\angle (\vec{a}, \vec{b})) \).

Сначала найдем длины векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \):

\( |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \)

\( |\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \)

Угол между векторами \( \angle (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\pi}{3} \), значит \( \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Теперь вычислим длину векторного произведения:

\[ |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{29} \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{290 \cdot 3}}{2} = \frac{\sqrt{870}}{2} \]

Ответ: \( \frac{\sqrt{870}}{2} \)