3. Представьте комплексное число в показательной форме: а) 5+5i; б) 2i; в) -4; г) 3+i.

Решение:

Комплексное число в показательной форме записывается как \( z = r e^{i\phi} \), где \( r \) - модуль комплексного числа, а \( \phi \) - его аргумент.

а) 5+5i

• Модуль: \( r = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)
• Аргумент: \( \phi = \arctan(\frac{5}{5}) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \)
• Показательная форма: \( 5\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \)

б) 2i

• Модуль: \( r = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2 \)
• Аргумент: \( \phi = \frac{\pi}{2} \) (так как число лежит на положительной мнимой оси)
• Показательная форма: \( 2 e^{i\frac{\pi}{2}} \)

в) -4

• Модуль: \( r = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4 \)
• Аргумент: \( \phi = \pi \) (так как число лежит на отрицательной действительной оси)
• Показательная форма: \( 4 e^{i\pi} \)

г) 3+i

• Модуль: \( r = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \)
• Аргумент: \( \phi = \arctan(\frac{1}{3}) \)
• Показательная форма: \( \sqrt{10} e^{i \arctan(\frac{1}{3})} \)

Ответ:

• а) \( 5\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \)
• б) \( 2 e^{i\frac{\pi}{2}} \)
• в) \( 4 e^{i\pi} \)
• г) \( \sqrt{10} e^{i \arctan(\frac{1}{3})} \)