1. Решите неравенство $$\frac{4x-9x^2}{10-x} \ge 0$$

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Решите неравенство $\frac{4x-9x^2}{10-x} \ge 0$$ Фото задания

1. Решите неравенство $$\frac{4x-9x^2}{10-x} \ge 0$$

Accepted Answer

Решение:

Для решения неравенства $\frac{4x-9x^2}{10-x} \ge 0$ найдём корни числителя и знаменателя.

Числитель: $ 4x - 9x^2 = 0 \Rightarrow x(4 - 9x) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = \frac{4}{9} $
Знаменатель: $ 10 - x = 0 \Rightarrow x_3 = 10 $
Разместим найденные точки на числовой прямой: 0, $\frac{4}{9}$, 10.
Определим знаки интервалов методом интервалов:

При $ x > 10 $, например $ x = 11 $: $\frac{4(11)-9(11)^2}{10-11} = \frac{44-9(121)}{-1} = \frac{44-1089}{-1} = \frac{-1045}{-1} = 1045 > 0$. Значит, интервал $ (10, +\infty) $ — положительный.

При $ \frac{4}{9} < x < 10 $, например $ x = 1 $: $\frac{4(1)-9(1)^2}{10-1} = \frac{4-9}{9} = \frac{-5}{9} < 0$. Значит, интервал $ (\frac{4}{9}, 10) $ — отрицательный.

При $ 0 < x < \frac{4}{9} $, например $ x = 0.1 $: $\frac{4(0.1)-9(0.1)^2}{10-0.1} = \frac{0.4-0.09}{9.9} = \frac{0.31}{9.9} > 0$. Значит, интервал $ (0, \frac{4}{9}) $ — положительный.

При $ x < 0 $, например $ x = -1 $: $\frac{4(-1)-9(-1)^2}{10-(-1)} = \frac{-4-9}{11} = \frac{-13}{11} < 0$. Значит, интервал $ (-\infty, 0) $ — отрицательный.

Нам нужно $\ge 0$, поэтому берём интервалы, где знак '+', включая числитель (0 и $\frac{4}{9}$), но не знаменатель (10).

Ответ: $ [0; \frac{4}{9}] \cup (10; +\infty) $.