4. Решите неравенство $$\log_{0.25}(3x - 5) > -3$$

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \log_{0.25}(3x - 5) > -3 \) выполним два условия:

1. ОДЗ (Область допустимых значений): аргумент логарифма должен быть больше нуля.

$$ 3x - 5 > 0 $$$$ 3x > 5 $$$$ x > \frac{5}{3} $$

Решение самого неравенства: Так как основание логарифма \( 0.25 \) меньше 1, при снятии логарифма знак неравенства меняется на противоположный.

$$ 3x - 5 < (0.25)^{-3} $$

Вычислим \( (0.25)^{-3} \):

$$ 0.25 = \frac{1}{4} $$$$ (\frac{1}{4})^{-3} = (4^1)^3 = 4^3 = 64 $$

Теперь неравенство принимает вид:

$$ 3x - 5 < 64 $$$$ 3x < 64 + 5 $$$$ 3x < 69 $$$$ x < \frac{69}{3} $$$$ x < 23 $$

Теперь объединим решение неравенства \( x < 23 \) с ОДЗ \( x > \frac{5}{3} \).

Получаем интервал:

$$ \frac{5}{3} < x < 23 $$

Ответ: \( (\frac{5}{3}; 23) \).