6. Решите уравнение $$x - 1 = \sqrt{x + 11}$$

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Решите уравнение $x - 1 = \sqrt{x + 11}$$ Фото задания

6. Решите уравнение $$x - 1 = \sqrt{x + 11}$$

Accepted Answer

Решение:

Для решения уравнения $ x - 1 = \sqrt{x + 11} $ необходимо учесть следующие условия:

ОДЗ (Область допустимых значений):

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ x + 11 \ge 0 \Rightarrow x \ge -11 $.
Правая часть уравнения (корень) неотрицательна, значит, и левая часть должна быть неотрицательной: $ x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1 $.

Решение уравнения: Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня.

$$ (x - 1)^2 = (\sqrt{x + 11})^2 $$$$ x^2 - 2x + 1 = x + 11 $$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$$ x^2 - 2x - x + 1 - 11 = 0 $$$$ x^2 - 3x - 10 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Используем теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета: $ x_1 + x_2 = 3 $ и $ x_1 \cdot x_2 = -10 $. Корни: $ x_1 = 5 $ и $ x_2 = -2 $.

Теперь проверим полученные корни на соответствие ОДЗ ( $ x \ge 1 $).

Для $ x = 5 $: $ 5 \ge 1 $ — условие выполняется.
Для $ x = -2 $: $ -2 \ge 1 $ — условие не выполняется.

Следовательно, посторонним является корень $ x = -2 $.

Ответ: $ x = 5 $.