5. Найдите все первообразные функции $$f(x) = -3x^3 + 6x^2 - 5x$$

Решение:

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = -3x^3 + 6x^2 - 5x \), нужно проинтегрировать каждый член функции по отдельности, используя правило \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).

Первообразная \( F(x) \) равна:

$$ F(x) = \int (-3x^3 + 6x^2 - 5x) dx $$$$ F(x) = -3 \int x^3 dx + 6 \int x^2 dx - 5 \int x dx $$$$ F(x) = -3 \left( \frac{x^{3+1}}{3+1} \right) + 6 \left( \frac{x^{2+1}}{2+1} \right) - 5 \left( \frac{x^{1+1}}{1+1} \right) + C $$$$ F(x) = -3 \left( \frac{x^4}{4} \right) + 6 \left( \frac{x^3}{3} \right) - 5 \left( \frac{x^2}{2} \right) + C $$$$ F(x) = -\frac{3}{4}x^4 + 2x^3 - \frac{5}{2}x^2 + C $$

Где \( C \) — произвольная постоянная.

Ответ: \( F(x) = -\frac{3}{4}x^4 + 2x^3 - \frac{5}{2}x^2 + C \).