1. Решите неравенство \(\frac{4x-x^2}{3+2x} \le 0\)

Решение:

Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{4x-x^2}{3+2x} \).

Найдем корни числителя:

\( 4x - x^2 = 0 \)
\( x(4-x) = 0 \)
\( x_1 = 0, x_2 = 4 \)

Найдем корень знаменателя:

\( 3+2x = 0 \)
\( 2x = -3 \)
\( x_3 = -1.5 \)

Нанесём корни на числовую прямую и определим знаки функции на интервалах:

При \( x < -1.5 \) (например, \( x = -2 \)): \( f(-2) = \frac{4(-2)-(-2)^2}{3+2(-2)} = \frac{-8-4}{3-4} = \frac{-12}{-1} = 12 > 0 \)

При \( -1.5 < x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( f(-1) = \frac{4(-1)-(-1)^2}{3+2(-1)} = \frac{-4-1}{3-2} = \frac{-5}{1} = -5 < 0 \)

При \( 0 \le x \le 4 \) (например, \( x = 1 \)): \( f(1) = \frac{4(1)-(1)^2}{3+2(1)} = \frac{4-1}{3+2} = \frac{3}{5} > 0 \)

При \( x > 4 \) (например, \( x = 5 \)): \( f(5) = \frac{4(5)-(5)^2}{3+2(5)} = \frac{20-25}{3+10} = \frac{-5}{13} < 0 \)

Неравенство \( f(x) \le 0 \) выполняется при \( x \in (-1.5; 0] \cup [4; \infty) \).

Ответ: \( (-1.5; 0] \cup [4; \infty) \).