11. Решите уравнение \( (\sin x - \frac{1}{2})(\sin x + 1) = 0 \)

Решение:

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому рассмотрим два случая:

Случай 1: \( \sin x - \frac{1}{2} = 0 \)

\( \sin x = \frac{1}{2} \)

Частные решения этого уравнения:

\( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

\( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

Случай 2: \( \sin x + 1 = 0 \)

\( \sin x = -1 \)

Частное решение этого уравнения:

\( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \)

Объединяя решения обоих случаев, получаем:

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \; x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \; x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, \; k, n, m \in \mathbb{Z} \).