5. Найдите все первообразные функции \( f(x) = 5 + 4x - 3x^2 \)

Решение:

Чтобы найти первообразную \( F(x) \), проинтегрируем функцию \( f(x) \) по \( x \).

\( F(x) = \int (5 + 4x - 3x^2) dx \)

Используем правила интегрирования:

\( \int c \cdot x^n dx = c \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)

\( F(x) = 5x + 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C \)
\( F(x) = 5x + 4 \cdot \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C \)
\( F(x) = 5x + 2x^2 - x^3 + C \)

где \( C \) — произвольная постоянная.

Ответ: \( F(x) = -x^3 + 2x^2 + 5x + C \).