8. Найдите значение производной функции \( f(x) = 4x^3 - 8x + 1 \) в точке \( x_0 = 2 \)

Решение:

Сначала найдём производную функции \( f(x) \) по \( x \).

Используем правила дифференцирования:

\( (x^n)' = n x^{n-1} \)
\( (c \cdot u)' = c \cdot u' \)
\( (u - v)' = u' - v' \)
\( (c)' = 0 \)

\( f'(x) = (4x^3 - 8x + 1)' \)
\( f'(x) = 4 \cdot (x^3)' - 8 \cdot (x)' + (1)' \)
\( f'(x) = 4 \cdot 3x^{3-1} - 8 \cdot 1 + 0 \)
\( f'(x) = 12x^2 - 8 \)

Теперь подставим значение \( x_0 = 2 \) в найденную производную:

\( f'(2) = 12 \cdot (2)^2 - 8 \)
\( f'(2) = 12 \cdot 4 - 8 \)
\( f'(2) = 48 - 8 \)
\( f'(2) = 40 \)

Ответ: \( 40 \).