12. Решите систему: \(\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 2^{x-y} = 4 \end{cases}\)

Решение:

Рассмотрим второе уравнение системы:

\( 2^{x-y} = 4 \)

Так как \( 4 = 2^2 \), можем записать:

\( 2^{x-y} = 2^2 \)

Приравниваем показатели степеней:

\( x - y = 2 \)

Теперь у нас есть новая система из двух линейных уравнений:

\(\begin{cases} 2x - y = 3 \\ x - y = 2 \end{cases}\)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( (2x - y) - (x - y) = 3 - 2 \)
\( 2x - y - x + y = 1 \)
\( x = 1 \)

Подставим найденное значение \( x = 1 \) во второе уравнение \( x - y = 2 \):

\( 1 - y = 2 \)
\( -y = 2 - 1 \)
\( -y = 1 \)
\( y = -1 \)

Проверим полученные значения \( x = 1 \) и \( y = -1 \) в исходной системе:

Первое уравнение: \( 2(1) - (-1) = 2 + 1 = 3 \) (Верно)

Второе уравнение: \( 2^{1 - (-1)} = 2^{1+1} = 2^2 = 4 \) (Верно)

Ответ: \( (1; -1) \).