13. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 5/13. Диаметр описанной около него окружности равен 26. Найдите площадь прямоугольника.

Задание 13

Дано:

• Прямоугольник.
• Синус угла между стороной и диагональю \( \sin{\alpha} = \frac{5}{13} \).
• Диаметр описанной окружности \( d = 26 \).

Найти: площадь прямоугольника \( S \).

Решение:

Пусть \( \alpha \) — угол между стороной \( b \) и диагональю \( d \). Тогда противолежащий катет равен стороне \( a \).

Используем определение синуса в прямоугольном треугольнике, образованном сторонами прямоугольника и диагональю:

\[ \sin{\alpha} = \frac{a}{d} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{5}{13} = \frac{a}{26} \]

Отсюда находим сторону \( a \):

\[ a = \frac{5}{13} \cdot 26 = 5 \cdot 2 = 10 \]

Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности. Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения другой стороны \( b \):

\[ a^2 + b^2 = d^2 \]

\[ 10^2 + b^2 = 26^2 \]

\[ 100 + b^2 = 676 \]

\[ b^2 = 676 - 100 = 576 \]

\[ b = \sqrt{576} = 24 \]

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\[ S = a \cdot b = 10 \cdot 24 = 240 \]

Ответ: площадь прямоугольника равна 240.