11. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 12/13. Диаметр описанной около него окружности равен 13. Найдите площадь прямоугольника.

Задание 11

Дано:

• Прямоугольник.
• Синус угла между стороной и диагональю \( \sin{\alpha} = \frac{12}{13} \).
• Диаметр описанной окружности \( d = 13 \).

Найти: площадь прямоугольника \( S \).

Решение:

В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами прямоугольника и его диагональю, синус одного из острых углов равен отношению противолежащего катета (стороны прямоугольника) к гипотенузе (диагонали).

Пусть \( \alpha \) — угол между стороной \( b \) и диагональю \( d \). Тогда противолежащий катет равен стороне \( a \).

\[ \sin{\alpha} = \frac{a}{d} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{12}{13} = \frac{a}{13} \]

Отсюда находим сторону \( a \):

\[ a = 12 \]

Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности. Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения другой стороны \( b \):

\[ a^2 + b^2 = d^2 \]

\[ 12^2 + b^2 = 13^2 \]

\[ 144 + b^2 = 169 \]

\[ b^2 = 169 - 144 = 25 \]

\[ b = \sqrt{25} = 5 \]

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\[ S = a \cdot b = 12 \cdot 5 = 60 \]

Ответ: площадь прямоугольника равна 60.