14. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 8/17. Диаметр описанной около него окружности равен 34. Найдите площадь прямоугольника.

Задание 14

Дано:

• Прямоугольник.
• Синус угла между стороной и диагональю \( \sin{\alpha} = \frac{8}{17} \).
• Диаметр описанной окружности \( d = 34 \).

Найти: площадь прямоугольника \( S \).

Решение:

Пусть \( \alpha \) — угол между стороной \( b \) и диагональю \( d \). Тогда противолежащий катет равен стороне \( a \).

Используем определение синуса в прямоугольном треугольнике, образованном сторонами прямоугольника и диагональю:

\[ \sin{\alpha} = \frac{a}{d} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{8}{17} = \frac{a}{34} \]

Отсюда находим сторону \( a \):

\[ a = \frac{8}{17} \cdot 34 = 8 \cdot 2 = 16 \]

Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности. Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения другой стороны \( b \):

\[ a^2 + b^2 = d^2 \]

\[ 16^2 + b^2 = 34^2 \]

\[ 256 + b^2 = 1156 \]

\[ b^2 = 1156 - 256 = 900 \]

\[ b = \sqrt{900} = 30 \]

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\[ S = a \cdot b = 16 \cdot 30 = 480 \]

Ответ: площадь прямоугольника равна 480.