1 вариант, 6. В равностороннем треугольнике ABC точка M – пересечение высот. Докажите, что треугольник AMC – равнобедренный. Найдите длину биссектрисы ∠AMC, если MC=5.

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Высоты, проведенные в равностороннем треугольнике, также являются медианами и биссектрисами. Точка M - точка пересечения высот. Следовательно, ∠MAC = ∠MCA = 30°, ∠AMC = 180°- 30° - 30° = 120°. Так как ∠MAC = ∠MCA, треугольник AMC - равнобедренный. Биссектриса угла AMC делит угол пополам. То есть ∠AMC = 120 / 2 = 60. Биссектриса угла AMC также является высотой и медианой в равнобедренном треугольнике AMC. Таким образом, она делит сторону AC пополам. Если MC=5, то длина биссектрисы будет равна MC*cos(60)=5/2=2.5. Биссектриса делит угол АМС на два угла по 60 градусов каждый. Получаем прямоугольный треугольник. Пусть биссектриса это MH. Тогда треугольник MCH. В нем угол H = 90, угол C=30, и гипотенуза =5. Длина MH=5/2=2.5. Ответ: Треугольник AMC - равнобедренный. Длина биссектрисы = 2.5.