2 вариант, 6. В равностороннем треугольнике ABC точка M – пересечение медиан. Докажите, что треугольник АМС – равнобедренный. Найдите высоту треугольника АМС, проведенную к стороне АС, если МС=14.

В равностороннем треугольнике медианы также являются высотами и биссектрисами. Точка M - точка пересечения медиан, делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Все углы в равностороннем треугольнике равны 60°. Медианы пересекаются под углами 120 градусов. Угол MAC= MCA= 30, угол AMC = 120. Треугольник AMC равнобедренный, так как углы MAC = MCA. Высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам и является медианой и биссектрисой. Пусть высота - MH, она делит угол AMC пополам. Рассмотрим треугольник MCH, угол MCH =30, угол MHC = 90. Тогда MC=14. CH= MC * cos(30)= 14* (√3/2) = 7*√3. Высота MH=MC*sin(30)=14*1/2 =7. Ответ: Треугольник AMC - равнобедренный. Высота треугольника АМС = 7.