1 вариант. Задание № 2. Найти объём тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями y = x², y = x, вокруг оси Oy.

Найдём точки пересечения: x² = x, откуда x = 0 и x = 1. На отрезке [0; 1] верхняя кривая y = x, нижняя — y = x². Для вращения вокруг Oy применим метод цилиндрических слоёв.

V = 2π∫₀¹x(x − x²) dx = 2π[x³/3 − x⁴/4]₀¹.

V = 2π(1/3 − 1/4) = π/6.

Ответ: π/6.